ペル方程式 - isatoの活動日記

x²-dy²=1 という形で書ける方程式をペル方程式と呼びます。

(x,y) = (1,0)は自明な解となっていますが，ペル方程式には非自明な解が存在することが保証されています。

この方程式の一つの解 $(x_0,y_0)$ を見つけたとしましょう。ここで，

$x_0+y_0\sqrt{d}$

という数を考えます。

この数を2乗してみます。

${\displaystyle {(x_0+y_0 \sqrt{d})}^2 = {x_0}^2+{y_0}^2d+2 x_0 y_0\sqrt{d} }$

ここで得られる， ${({x_0}^2+{y_0}^2d, 2 x_0 y_0)}$ もペル方程式の解になるらしいです。

代入して調べてみると確かにそうなっています。

つまり，一つの解が分かれば連鎖的に他の解も求まるということ。

とても面白い。