isatoの活動日記

管理人isatoが毎日の生活で気になったこと、勉強になったことを書いています。

平方根は3つで1セット？？

平方根について気になり色々調べていたところ，以下のような事実に気づきました。

{
a,b,c \in \mathbb{R} \\
\begin{eqnarray*}
    A &:=& abc\\
    B &:=& a+b+c\\
    C &:=& ab+bc+ca\\
\end{eqnarray*}
\\とすると, \\
\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} = \sqrt{A^0B+2\sqrt{A^0C+2\sqrt{A^1B+2\sqrt{A^2C+2\sqrt{A^5B+2\sqrt{A^{10}C}}}}}}\ \ \cdots\cdots
}

この数式は，「三つの平方根の和が調和のとれた美しい形で表現される」ということを表しています。

また，Aのべき数として現れる数列は，リヒテンベルグ数列と呼ばれているようです。

A000975 - OEIS

さらに，立方根については二つの和で同様の現象が起こることがわかりました。

何か面白いことにつながっている気がします。

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